【確率的トレンド】”ランダムウォーク”について

　こんにちは。システムトレーダーの卵ことKenKenです。本日は「確率的トレンド」や「ランダムウォーク」について、「Python3ではじめるシステムトレード ──環境構築と売買戦略」で勉強したことやそれに関連することを調べたのでまとめていきたいと思います。

確率的トレンドとは

　一言でまとめると、乱数の和から発生したトレンドを確率的トレンドという。また、そのような動きはランダムウォークの特徴の一つとされている。金融商品の価格は、ランダムウォークとしてモデル化されることがよくある。価格がランダムである理由としては、金融市場の効率性を反映した結果であるとか様々諸説はある。

　まずは、その様子をシミュレートして確認してみる。10回に1回くらいは、上昇トレンドや下降トレンドのような形状をしたものが得られた。コードは以下の通り。以下の図では、見事に上昇トレンドの形状をしている。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

# 1000個の乱数を作成
randoms = np.random.randint(low=-1, high=2, size=1000)
x = range(len(randoms))

# グラフを各
plt.figure()
ax = plt.subplot(1, 1, 1)
ax.plot(x, randoms.cumsum())

確率過程とは

　ランダムに発生した変数を時間の順に並べたものを確率過程という。時系列データを扱う際は、得られたデータを標本と呼ばず、実現値と呼ぶ。理由は、特定の確率過程から抽出され、実現した特別な一連の値だからである。金融関連の価格は、とびとびの値をとるため、離散型の確率変数となる。また、金融市場では取引時間は連続では無い為、離散時間の確率過程となる。

　一方で、価格の理論を構築するような場合は、連続時間の確率過程を使うと便利であり、ブラン運動とかウィーナー過程といった連続時間の確率過程が利用されている。（この辺が参考になりそう）
　これらの確率過程は、定常な確率過程と非定常な確率過程に分けることができる。
　定常確率過程とは、確率変数の値が初期値から大きく離れることはなく、その周辺をうろうろする状態を継続することができる確率過程。その際に、確率変数の平均、分散、共分散は時間に対して一定である。
　非定常確率過程とは、時間の経過とともに、確率変数の平均、分散、共分散などが変化する確率過程である。確定的トレンドは、非定常過程の例である。確率過程から確定的トレンドを取り除くと、残った確率過程は定常過程となる。そのため、確定的トレンドはトレンド定常性とも呼ばれている。

ランダムウォーク

　資産価格の分散が時間の経過とともに変化するのであれば、その確率過程はランダムウォークとしてモデル化できる。

ドリフト無しランダムウォーク

　$t$時の金融資産価格を$W_t$とすると、

$$W_t = W_0 + \sum^{t}_{i=1} w_i$$

となる。ここで$w_i$は平均ゼロ、分散$\sigma^2$の正規分布に従う確率変数であり、攪乱項とも呼ばれる。そして、このモデルは、以下のように書き換えることもできる。

$$W_t = W_{t-1} + w_t$$

ここで、(\w_t\)の期待値はゼロ(\E(w_t)=0\)である。したがって、以下が成立する。

$$var(w_t) = E(w_t^2) – (E(w_t))^2 = E(w_t^2) = \sigma^2$$

よって、$W_t$の平均と分散は

$$E(W_t) = W_0$$

$$var(W_t) = var(W_{t-1} + w_t) = t \cdot \sigma^2$$

となる。期待値は定数だが、分散は時間の関数になっていることがわかる。

ドリフト付きモデル

　ドリフト無しランダムウォークモデルにせっぺを加えたモデルがドリフト付きモデルである。

$$W_t = \alpha + W_{t-1} + w_t$$

　ここで、$\alpha$は定数であり、ドリフト率と呼ばれる。このモデルの特性は、

$$W_t = \alpha \cdot t + W_0 + \sum^{t}_{i=1}w_i$$

で表される。ドリフト項がトレンドの役割を担っている。$W_t$の期待値と分散は、

$$E(W_t) = W_0 + \alpha \cdot t$$

$$var(W_t) = t \cdot var(w_t) = t \cdot \sigma^2$$

どちらも時間の関数となる。また、$W$の差分の期待値は、

$$\begin{align} E(W_t – W_{t-1}) &= E(W_t) – E(W_{t-1}),\\
　 &= E(W_t) – {E(W_t-\alpha-w_t)}\\
&=E(\alpha) + E(w_t) = \alpha \end{align}$$

となる。

見せかけの確率的トレンド

　現在の価格の動きは、独立である。したがって、上昇と下落を繰り返しながら、上昇トレンドと下降トレンドの発生が可能となる。このトレンドは、ランダムな現象の結果であるから、この価格の動きから売買タイミングを測り利益を上げることはできない。しかし、この確率的トレンドを最小二乗法で線形回帰を行うとき、確率的トレンドと判断されてしまうことがあり、これを”見せかけの確定的トレンド”という。

ランダムウォークの判定

　ランダムウォークであるかどうかの判定問題を単位根問題という。定常過程においては、母集団から抽出された標本は、数が増えれば標本平均は真の平均に近づき、この差が従う分布は標本の増加に従い正規分布に従うという中心極限定理が成立する。しかし、単位根を持つ非定常な過程では、この中心極限定理が成り立たず、問題となる。

単位根

　金融資産の価格($W$)を線形回帰式

$$W_t = \kappa W_{t-1} + w_t$$

で表し、$\kappa=1$であるならば、このモデルは単位根を持つという。つまり、ドリフト無しランダムウォークモデルが成り立つということかかな。単位根を持つとその時系列は、非定常確率過程になり、分散は時間の経過とともに発散する。このような非定常確率過程では、最小二乗法は使えない。したがって、もし1次の階差

$$\Delta W_t = W_t – W_{t-1} = (\kappa-1)W_{t-1} + w_t = \gamma W_{t-1} + w_t$$

をとって、$\gamma=0$であれば、上式は$W_t=W_{t-1} + w_t$となり、$W_t$がランダムウォークモデルである可能性がある。したがって、帰無仮説を$\gamma=0$として仮説検定を行えばよい。この帰無仮説を棄却できなければ、時系列はランダムウォークである可能性がある。このような検定の仕方をディッキー・フラー検定(ＤＦ検定)という。

拡張ディッキー・フラー検定(ＡＤＦ検定)

　ADF検定はＤＦ検定を次のように拡張したもの。

$$\Delta W_t = \alpha + \beta \cdot t + \gamma W_{t-1} + \sum^{t}_{i=1}\sigma_i W_{t-1} + w_t$$

$\alpha$、$\beta$、$\sigma$をゼロとすれば、DF検定となる。statsmodelでは以下について検定が行える。

$\Delta W_t = \gamma W_{t-1} + \sum^{t}_{i=1}\sigma_i W_{t-1} + w_t$
$\Delta W_t = \alpha + \gamma W_{t-1} + \sum^{t}_{i=1}\sigma_i W_{t-1} + w_t$
$\Delta W_t = \alpha + \beta \cdot t + \gamma W_{t-1} + \sum^{t}_{i=1}\sigma_i W_{t-1} + w_t$
$\Delta W_t = \alpha + \beta \cdot t + \eta \cdot t^2+ \gamma W_{t-1} + \sum^{t}_{i=1}\sigma_i W_{t-1} + w_t$

検定結果として、帰無仮説を棄却できなければ、データはランダムウォークと判定される。